Théorème de Varignon

Le quadrilatère de Varignon regroupe plusieurs démonstrations de Pierre Varignon concernant le quadrilatère:

1. si l'on joint les milieux des quatre cotés du quadrilatère quelconque, on obtient un parallélogramme
2. si l'on joint les milieux des quatre cotés d'un carré, on obtient un autre carré.
3. le périmètre du parallélogramme formé (voir 1 et 2) est égale à la somme des longueurs des deux diagonales du quadrilatère d'origine

Démonstrations

Pour démontrer que EFGH est un parallélogramme (voir figure tout en bas) :

Je sais que CBD triangle, H milieu [DC], G milieu [BC]
Or si dans un triangle, une droite passe par les milieux de 2 côtés, alors elle est parallèle au 3e.
Donc (BD) // (HG)

Je sais que ABD est un triangle, E est le milieu de [AB], F est le milieu de [AD],
Or si un segment joint les milieux de 2 côté, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc (EF) // (DB)

Je sais que (HG) // (DB) et (DB) // (EF),
Or si deux droites sont parallèles et qu'une 3e droite est parallèle à l'une d'elle, alors elle est aussi parallèle à l'autre

Donc (HG) // (EF)

Je sais que DBC est un triangle, H est le milieu de [DC], G est le milieu de [BC],
Or si dans un triangle un segment joint les mileux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc HG=DB/2

Je sais que ABD est un triangle, E est le milieu de [AD] et F est le milieu de [AB],
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc EF=DB/2

Comme HG=DB/2 et que EF=DB/2, alors HG=EF

Je sais que HG=EF et que (HG) // (EF),

Or si dans un quadrilatère 2 côtés opposés sont à la fois de même longueur et parallèle, alors c'est un parallèlogramme.

Donc IJKL est un parallélogramme.

Pour démontrer que AC+BD est égal au périmètre de EFGH (voir figure tout en bas) :

étape 1 : Je sais que ABD triangle, E milieu ACD et F milieu [AB].
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié du 3e côté.
Donc EF=BD/2

étape 2 : Je sais que CBD triangle, G milieu[CD] et H milieu [CB],
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc GH=BD/2

Comme EF=BD/2 et GH=DB/2, alors EF+GH=DB

étape 3 : Je sais que ACD triangle, E milieu [AB], H milieu [DC].
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de

2 côtes, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté
Donc EH=AC/2

étape 4 : Je sais que ACB triangle, F milieu de [AB], G milieu de [BC],

Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié du 3e côté.

Donc FG=AC/2.

Comme EH=AC/2et que FG=AC/2,alors EH+FG=AC

Comme EF+GH=DB et que EH+FG=AC,

alors le périmètre de EFGH est égal à AC+DB