Théorème de Varignon

Le quadrilatère de Varignon regroupe plusieurs démonstrations de Pierre Varignon concernant le quadrilatère:

1. si l'on joint les milieux des quatre cotés d quadrilatère quelconque, on obtient un parallélogramme
2. si l'on joint les milieux des quatre cotés d'un carré, on obtient un autre carré.
3. le périmètre du parallélogramme formé (voir 1 et 2) est égal à la somme des longueurs des deux diagonales du quadrilatère d'origine

Démonstrations

Démontrer que EFGH est un parallélogramme

Je sais que CBD triangle, H milieu [DC], G milieu [BC]
Or si dans un triangle, une droite passe par les milieux de 2 côtés, alors elle est parallèle au 3e.
Donc (BD) // (HG)

Je sais que ABD est un triangle, E est le milieu de [AB], F est le milieu de [AD],
Or si un segment joint les milieux de 2 côté, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc (EF) // (DB)

Je sais que (HG) // (DB) et (DB) // (EF),
Or si deux droites sont parallèles et qu'une 3e droite est parallèle à l'une d'elle, alors elle est aussi parallèle à l'autre

Donc (HG) // (EF)

Je sais que DBC est un triangle, H est le milieu de [DC], G est le milieu de [BC],
Or si dans un triangle un segment joint les mileux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc HG=DB/2

Je sais que ABD est un triangle, E est le milieu de [AD] et F est le milieu de [AB],
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc EF=DB/2

Comme HG=DB/2 et que EF=DB/2, alors HG=EF

Je sais que HG=EF et que (HG) // (EF),

Or si dans un quadrilatère 2 côtés opposés sont à la fois de même longueur et parallèle, alors c'est un parallèlogramme.

Donc IJKL est un parallélogramme.

Démontrer que le périmètre de EFGH est égal à la somme de AC et BD

étape 1 : Je sais que ABD triangle, E milieu ACD et F milieu [AB].
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié du 3e côté.
Donc EF=BD/2

étape 2 : Je sais que CBD triangle, G milieu[CD] et H milieu [CB],
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté.
Donc GH=BD/2

Comme EF=BD/2 et GH=DB/2, alors EF+GH=DB

étape 3 : Je sais que ACD triangle, E milieu [AB], H milieu [DC].
Or si dans un triangle un segment joint les milieux de

2 côtes, alors il a pour longueur la moitié de celle du 3e côté
Donc EH=AC/2

étape 4 : Je sais que ACB triangle, F milieu de [AB], G milieu de [BC],

Or si dans un triangle un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il a pour longueur la moitié du 3e côté.

Donc FG=AC/2.

Comme EH=AC/2et que FG=AC/2,alors EH+FG=AC

Comme EF+GH=DB et que EH+FG=AC,

alors le périmètre de EFGH est égal à AC+DB