Équation diophantienne

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Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers dont les solutions recherchées sont des nombres appartenant à l'ensemble des entiers.

Théorème de bézout

Étienne Bézout, mathématicien du XVIIIe siècle, s'est intéressé aux équations diophantiennes de la forme

ax+by=c

où a et b sont les coefficients et où x et y sont les inconnues. Son théorème nous dit que cette équation comporte une solution si et seulement si c est un multiple du PGCD de a et b. Dans ce cas, l'équation comporte même une infinité de solution.

Ainsi, l'équation ax+by=1 n'a de solution que si PGCD(a,b)=1, autrement dit si a et b sont premiers entre eux.

Exemple d'application du théorème

Un lapin se trouve sur la case (0,0) d'un échiquier de taille 10x10. Il ne peut faire que des bons de longueurs 3,6 ou 15, de droite à gauche, de gauche à droite, de haut en bas ou de bas en haut. Est-il possible pour lui de trouver pour chaque case un chemin qui lui permette de l'atteindre ?