Droite remarquable

Les droites remarquables d'un triangle sont des droites qui possèdent des propriétés remarquables, autrement dit des caractéristiques particulières.

D'un point de vue géométrique, ces droites sont donc intéressantes à observer.

Les médiatrices

Qu'est ce qu'une médiatrice ?

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

> Voir l'article détaillé : Médiatrice

Les médiatrices dans le triangle

EFG est un triangle quelconque. Les 3 médiatrices d'un triangle sont concourantes (c'est-à-dire que les 3 droites se croisent en un point).

O est le point d'intersection des 3 médiatrices et est le centre du cercle circonscrit (c'est-à-dire le cercle passant par les 3 sommets du triangle).

Comme les points appartenant au cercle sont tous à la même distance du centre alors EO=FO=GO.

Conclusion

Le point d’intersection des 3 médiatrices d'un triangle donne le centre du cercle qui passe par les 3 sommets du triangle : le cercle circonscrit.

Les médianes

Définition :
Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.

Les médianes dans un triangle :

ABC est un triangle quelconque. Les 3 médianes d’un triangle sont concourantes (=c’est-à-dire que les 3 droites se coupent en un point).
G est le point d’intersection des 3 droites. C’est le centre de gravité du triangle, il se trouve aux deux tiers du segment médiane en partant du sommet.
Le centre de gravité est le seul point du triangle permettant de le faire tenir en équilibre. Le segment médiane partage le triangle en deux parties de même aire.
Conclusion :
Dans un triangle, l’intersection des médianes donne le centre de gravité.

Les hauteurs

Définition :
Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet passe par ce sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

Les hauteurs dans un triangle :
Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes. Leur point d’intersection forme l’orthocentre du triangle.
Conclusion :
L’orthocentre est formé par les hauteurs.

Les bissectrices

Définition :
La bissectrice est la droite qui coupe l’angle en deux parties égales.

Les bissectrices dans un triangle :
Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes. Leur point d’intersection forme le centre du cercle inscrit. Le cercle inscrit est tangent aux trois côtés du triangle.
La tangente à un cercle (C) en un point A est la droite perpendiculaire au rayon du cercle issue de A passant par A.
Conclusion :
Le centre du cercle inscrit est formé par les bissectrices.